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# 命题逻辑

## 命题与命题的表示

### 命题的概念

命题是一个能确定是真的或是假的判断。 （判断都是用陈述句表示）

判断一句话是否是命题的关键： 陈述句 有且只有一个真值

### 命题的真值及命题的表示

命题真值（Truth Values）的表示： 真：T、1； 假：F、0

### 原子命题与复合命题

简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句 构成的命题 (该句再不能分解成更简单的 句子了)。通常用大写英文字母表示。

复合命题 (分子命题)：由若干个原子命题 构成的命题。

## 联结词

(1) 否定“¬ ”         (2) 合取“∧”         (3) 析取“∨” 

(4) 蕴涵“→”        (5) 等价/双条件“↔”          (6)异或“⊕ ” 

#### 真值表

<table data-full-width="false"><thead><tr><th width="86">P</th><th width="77">Q</th><th width="76">¬P</th><th width="77">P∧Q</th><th width="73">P∨Q</th><th width="73">P→Q</th><th width="84">P↔Q</th><th>P⊕Q </th></tr></thead><tbody><tr><td>T</td><td>T</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>T</td><td>F</td></tr><tr><td>T</td><td>F</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td></tr><tr><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>F</td><td>T</td></tr><tr><td>F</td><td>F</td><td>T</td><td>F</td><td>F</td><td>T</td><td>T</td><td>F</td></tr></tbody></table>

¬ 、 ∧、 ∨、 → 、 ⊕ ↔∃ ∀

## 等价公式

下面是使用 $$P$$ 和 $$Q$$ 表示的基本等价公式：

1. 对合律：$$¬¬P⇔P$$
2. 幂等律：
   * $$P∨P⇔P$$
   * $$Q∧Q⇔Q$$
3. 结合律：
   * $$P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨R$$
   * $$P∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R$$
4. 交换律：
   * $$P∨Q⇔Q∨P$$
   * $$P∧Q⇔Q∧P$$
5. 分配律：
   * $$P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)$$
   * $$P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)$$
6. 吸收律：
   * $$P∨(P∧Q)⇔P$$
   * $$P∧(P∨Q)⇔P$$
7. 德摩根定律：
   * $$¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q$$
   * $$¬(P∧Q)⇔¬P∨¬Q$$
8. 同一律：
   * $$P∨F⇔P$$
   * $$P∧T⇔P$$
9. 零律：
   * $$P∨T⇔T$$
   * $$P∧F⇔F$$
10. 互补律：
    * $$P∨¬P⇔T$$
    * $$P∧¬P⇔F$$

以下是附加的等价公式：

11. 条件推理：
    * $$P⇒Q⇔¬P∨Q$$
12. 逆否法：
    * $$P⇒Q⇔¬Q→¬P$$
13. 双条件：
    * $$P⇔Q⇔(P→Q)∧(Q→P)$$
14. 等价否定：
    * $$P⇔Q⇔(¬P∨Q)∧(P∨¬Q)$$
15. 异或：
    * $$P⊕Q⇔(P∧¬Q)∨(¬P∧Q)$$

## 等价公式与集合论的对应关系

使用 $$A$$ 表示集合：

1. 对合律： $$∼∼A⇔A$$，其中 $$∼A$$ 表示 $$A$$ 的绝对补集。
2. 幂等律：
   * $$A∪A⇔A$$
   * $$A∩A⇔A$$
3. 结合律：
   * $$A∪(B∪C)⇔(A∪B)∪C$$
   * $$A∩(B∩C)⇔(A∩B)∩C$$
4. 交换律：
   * $$A∪B⇔B∪A$$
   * $$A∩B⇔B∩A$$
5. 分配律：
   * $$A∪(B∩C)⇔(A∪B)∩(A∪C)$$
   * $$A∩(B∪C)⇔(A∩B)∪(A∩C)$$
6. 吸收律：
   * $$A∪(A∩B)⇔A$$
   * $$A∩(A∪B)⇔A$$
7. 德摩根定律：
   * $$∼(A∪B)⇔∼A∩∼B$$
   * $$∼(A∩B)⇔∼A∪∼B$$
8. 同一律：
   * $$A∪∅⇔A$$，其中 $$∅$$ 表示空集。
   * $$A∩E⇔A$$，其中 $$E$$ 表示全集。
9. 零律：
   * $$A∪E⇔E$$
   * $$A∩∅⇔∅$$
10. 否定律：
    * $$A∪∼A⇔E$$，其中 $$∼A$$ 表示 $$A$$ 的绝对补集。
    * $$A∩∼A⇔∅$$

## 重言式与重言蕴涵式

* 永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论 怎样指派，公式对应的真值恒为T。
* 永假（矛盾）式（Contradiction)公式中的命题变 量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。&#x20;
* 可满足公式（Satisfaction）公式中的命题变量无 论怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为T。&#x20;
* &#x20;一般命题公式（Contingency）既不是永真公式也不 是永假公式。

## 逻辑推理规则对应的重要的重言蕴含式：

1. $$P∧Q⇒P$$
2. $$P∧Q⇒Q$$
3. $$P⇒P∨Q$$
4. $$Q⇒P∨Q$$
5. $$¬P⇒P→Q$$
6. $$Q⇒P→Q$$
7. $$¬(P→Q)⇒P$$
8. $$¬(P→Q)⇒¬Q$$
9. $$P,Q⇒P∧Q$$
10. $$¬P∧(P∨Q)⇒Q$$
11. $$P∧(P→Q)⇒Q$$
12. $$¬Q∧(P→Q)⇒¬P$$
13. $$(P→Q)∧(Q→R)⇒P→R$$
14. $$(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⇒R$$
15. $$A→B⇒(A∨C)→(B∨C)$$
16. $$A→B⇒(A∧C)→(B∧C)$$

### 等价式与蕴含式的关系 ：

设P、Q为两个命题公式，P⇔q当 且仅当P⇒Q且Q⇒P

### 蕴含的性质

* A⇒B且A为重言式，则B必为重言式
* 若A⇒B且B⇒C，则A⇒C (传递性)
* 若A⇒B且A⇒C，则A⇒(B ∧ C)
* 若A⇒B且C⇒B，则(A∨C)⇒B

### 对偶与范式

#### 限定性命题公式：

最多仅含有¬、∧、∨ 逻辑联结词的命题公式。&#x20;

#### 命题公式P的对偶公式（Dual）：

将P中的 ∨换成∧，∧换成∨，T换成F，F换成T （如果存在的话), 所的公式称为P的对偶式， 记为P\*

例：P 与 P、 ¬Q∧R与 ¬Q∨R、 (P∨T)∧¬Q与(P∧F)∨¬Q分别互为对偶式

#### 定理：

令A(P1,P2,…,Pn)是一个只含有联结 词 ¬ 、∨、∧的命题公式，

则 ¬A(P1,P2,…,Pn) ⇔ A\*(¬P1,¬P2,…,¬Pn)

#### 对偶原理&#x20;

设P、Q是限定性命题公式, 如果 P Û Q 则 P\* Û Q\*

### 命题公式的标准化----范式（合取式与析取式）

#### 合取式(conjunctive form ):&#x20;

若干个原子命题或其否定的合取。&#x20;

如 P 、¬P 、P∧¬Q、P∧¬Q∧¬R&#x20;

#### 析取式(disjunctive form):&#x20;

若干个原子命题或其否定的析取。

如 P 、¬P 、P∨¬Q、P∨¬Q∨¬R

### 析取范式与合取范式

1\. 公式A如果写成如下形式：&#x20;

A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是**合取式**，称之为A的**析取范式**。&#x20;

2.公式A如果写成如下形式：&#x20;

A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是**析取式**，称之为A的**合取范式**。

#### 小项

定义：在一个有n个命题变元的合取式中， 每个变元必出现且仅出现一次，称这个合取式是个小项。 例如，有两个变元的小项： P∧Q、P∧¬Q、 ¬P∧Q、 ¬P∧¬Q

#### 大项

定义:在有n个命题变元的析取式中，每个变元必出现且仅出现一次,称之为大项。