命题逻辑
命题与命题的表示
命题的概念
命题是一个能确定是真的或是假的判断。 （判断都是用陈述句表示）
判断一句话是否是命题的关键： 陈述句 有且只有一个真值
命题的真值及命题的表示
命题真值（Truth Values）的表示： 真：T、1； 假：F、0
原子命题与复合命题
简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句 构成的命题 (该句再不能分解成更简单的 句子了)。通常用大写英文字母表示。
复合命题 (分子命题)：由若干个原子命题 构成的命题。
联结词
(1) 否定“¬ ” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨”
(4) 蕴涵“→” (5) 等价/双条件“↔” (6)异或“⊕ ”
真值表
T
T
F
T
T
T
T
F
T
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F
F
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T
F
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T
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F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
¬ 、 ∧、 ∨、 → 、 ⊕ ↔∃ ∀
等价公式
幂等律：
结合律：
交换律：
分配律：
吸收律：
德摩根定律：
同一律：
零律：
互补律：
以下是附加的等价公式：
条件推理：
逆否法：
双条件：
等价否定：
异或：
等价公式与集合论的对应关系
幂等律：
结合律：
交换律：
分配律：
吸收律：
德摩根定律：
同一律：
零律：
否定律：
重言式与重言蕴涵式
永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论 怎样指派，公式对应的真值恒为T。
永假（矛盾）式（Contradiction)公式中的命题变 量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。
可满足公式（Satisfaction）公式中的命题变量无 论怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为T。
一般命题公式（Contingency）既不是永真公式也不 是永假公式。
逻辑推理规则对应的重要的重言蕴含式：
等价式与蕴含式的关系 ：
设P、Q为两个命题公式，P⇔q当 且仅当P⇒Q且Q⇒P
蕴含的性质
A⇒B且A为重言式，则B必为重言式
若A⇒B且B⇒C，则A⇒C (传递性)
若A⇒B且A⇒C，则A⇒(B ∧ C)
若A⇒B且C⇒B，则(A∨C)⇒B
对偶与范式
限定性命题公式：
最多仅含有¬、∧、∨ 逻辑联结词的命题公式。
命题公式P的对偶公式（Dual）：
将P中的 ∨换成∧，∧换成∨，T换成F，F换成T （如果存在的话), 所的公式称为P的对偶式， 记为P*
例：P 与 P、 ¬Q∧R与 ¬Q∨R、 (P∨T)∧¬Q与(P∧F)∨¬Q分别互为对偶式
定理：
令A(P1,P2,…,Pn)是一个只含有联结 词 ¬ 、∨、∧的命题公式，
则 ¬A(P1,P2,…,Pn) ⇔ A*(¬P1,¬P2,…,¬Pn)
对偶原理
设P、Q是限定性命题公式, 如果 P Û Q 则 P* Û Q*
命题公式的标准化----范式（合取式与析取式）
合取式(conjunctive form ):
若干个原子命题或其否定的合取。
如 P 、¬P 、P∧¬Q、P∧¬Q∧¬R
析取式(disjunctive form):
若干个原子命题或其否定的析取。
如 P 、¬P 、P∨¬Q、P∨¬Q∨¬R
析取范式与合取范式
1. 公式A如果写成如下形式：
A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是合取式，称之为A的析取范式。
2.公式A如果写成如下形式：
A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是析取式，称之为A的合取范式。
小项
定义：在一个有n个命题变元的合取式中， 每个变元必出现且仅出现一次，称这个合取式是个小项。 例如，有两个变元的小项： P∧Q、P∧¬Q、 ¬P∧Q、 ¬P∧¬Q
大项
定义:在有n个命题变元的析取式中，每个变元必出现且仅出现一次,称之为大项。
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