插值与逼近

插值与逼近是数值分析领域的重要组成部分，是从有限离散数据中获取连续函数模型的关键技术。在科学计算、信号处理、机器学习等广泛的应用领域中，我们经常需要处理实测数据或离散样本点，并从中构建出连续的函数关系，以便进行分析、预测和控制。

插值是通过已知的离散数据点，构建一个函数来拟合这些点，使得函数值恰好等于给定的数据点。常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。这些方法可以根据问题的特点和对精度的要求，灵活选择使用。

而逼近则是寻找一个函数，使其尽可能接近给定的离散数据，通常采用最小二乘法或其他优化技术。与插值不同，逼近函数不一定必须通过所有数据点，而是寻求整体上的最佳拟合。这在处理含有噪声的数据时非常有用。

在本章中，我们将全面介绍插值和逼近的基础理论，包括Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、三次样条插值、最小二乘法等经典方法。同时，我们也将探讨这些方法的收敛性、稳定性和误差分析，为读者提供在实际应用中选择合适算法的依据。