正交多项式

定义

正交

记区间 [ a, b ] 上所有连续函数的全体为 C[ a, b ] ，可以证明 C[ a, b ] 是一个线性空间，将所有次数不超过 n 的多项式全体记为 Pn ，则 Pn 是 C[ a, b ] 的子空间。

若 ( f, g ) = 0 ，则称 f ( x ) 与 g ( x ) 正交，记为.

权函数

考虑到 f(x) 在区间 [a, b] 上各点函数值比重不同, 常引进加权形式的内积:

其中权函数 (x) 为非负连续函数.

定理

若为 C[ a, b ] 上的一组线性无关函数，则可得到 C[ a, b ] 上一组两两正交的函数组 满足

（1）为的线性组合

（2）为的线性组合

构造过程

按照Schemite正交化过程构造函数即可

两两正交且满足 (1)、(2), 再令

称函数组为规范正交组。

Pn 上由线性无关函数经过Schemite正交化过程所得多项式称为 [a, b] 上的正交多项式.

代码实现

由于python库对于普通的正交多项式支持较差，而对于其他几种特殊的正交多项式支持较好，所以我们着重研究其他几种正交多项式的结果。