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# 几种正交多项式
## 一、Legendre多项式
### 定义
是区间 \[ -1, 1 ] 上权函数
( x ) = 1 的正交多项式且满足：
1.
```
```
2. 有三项递推关系：
### 代码实现
```python
# 计算前 5 阶 Legendre 多项式
P = [legendre(n) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Legendre 多项式：', P)
```
绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Legendre 多项式
```python
# legendre
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
legendre_poly = legendre(3)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, legendre_poly, label='Legendre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Legendre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
legendre_poly = legendre(10)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, legendre_poly, label='Legendre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Legendre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
legendre_poly = legendre(50)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, legendre_poly, label='Legendre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Legendre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
```
## 二、Chebyshev多项式
### 定义
是区间 \[ -1, 1 ] 上权函数 
的正交多项式，且满足:
*
```
```
* 有三项递推关系：
* 
在 \[-1,1] 上的 n 个零点为：
### 代码实现
```python
# 计算前 5 阶 Chebyshev 多项式
T = [chebyt(n) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Chebyshev 多项式：', T)
```
绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Chebyshev 多项式
```python
# chebyt
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
chebyt_poly = chebyt(3)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, chebyt_poly, label='Chebyt Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Chebyshev Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
chebyt_poly = chebyt(10)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, chebyt_poly, label='Chebyt Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Chebyshev Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
chebyt_poly = chebyt(50)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, chebyt_poly, label='Chebyt Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Chebyshev Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
```
## 三、Laguerre多项式
### 定义
是区间 
上权函数 
的正交多项式，且满足：
*
```
```
* 有三项递推关系：
### 代码实现
```python
# 计算前 5 阶 (α=0) Laguerre 多项式
L = [genlaguerre(n, 0) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Laguerre 多项式 (α=0) ：', L)
```
绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Laguerre 多项式
```python
# Laguerre
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
Laguerre_poly = genlaguerre(3, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, Laguerre_poly, label='Laguerre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Laguerre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
Laguerre_poly = genlaguerre(10, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, Laguerre_poly, label='Laguerre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Laguerre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
Laguerre_poly = genlaguerre(50, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, Laguerre_poly, label='Laguerre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Laguerre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
```
## 四、Hermite多项式
### 定义
是区间 
上权函数 
的正交多项式，且满足：
*
```
```
* 有三项递推关系：
### 代码实现
```python
# 计算 Hermite 多项式前 5 阶
H = [hermite(n) for n in range(5)]
print(H)
```
绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Hermite 多项式
```python
# Hermite
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
hermite_poly = hermite(3, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, hermite_poly, label='Hermite Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Hermite Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
hermite_poly = hermite(10)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, hermite_poly, label='Hermite Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Hermite Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
hermite_poly = hermite(50, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, hermite_poly, label='Hermite Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Hermite Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
```
## 五、Jacobi多项式
### 定义
Jacobi 正交多项式 
可以通过正交化代数多项式基底
得到，这里的正交化是在内积空间
中进行的。我们称
为 n 次 Jacobi 多项式。
*
```
```
*
```
```
*
```
```
*
```
```
### 代码实现
```python
# 计算前 5 阶 (α=0.5, β=1.0) Jacobi 多项式
P = [jacobi(n, 0.5, 1.0) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Jacobi 多项式 (α=0.5, β=1.0) ：', P)
```
绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Jacobi 多项式
```python
# Jacobi
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
jacobi_poly = jacobi(3, 0.5, 1.0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, jacobi_poly, label='Jacobi Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Jacobi Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
jacobi_poly = jacobi(10, 0.5, 1.0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, jacobi_poly, label='Jacobi Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Jacobi Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
jacobi_poly = jacobi(50, 0.5, 1.0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, jacobi_poly, label='Jacobi Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Jacobi Polynomial')
plt.legend()
plt.show()
```