几种正交多项式

调用 cipy.special 库中的 legendre, chebyt, hermite, genlaguerre, jacobi函数，我们可以轻松实现对应阶数的正交多项式。

一、Legendre多项式

定义

是区间 [ -1, 1 ] 上权函数( x ) = 1 的正交多项式且满足：

1. 
2. 有三项递推关系：

代码实现

# 计算前 5 阶 Legendre 多项式
P = [legendre(n) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Legendre 多项式：', P)

绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Legendre 多项式

# legendre
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
legendre_poly = legendre(3)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, legendre_poly, label='Legendre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Legendre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
legendre_poly = legendre(10)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, legendre_poly, label='Legendre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Legendre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
legendre_poly = legendre(50)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, legendre_poly, label='Legendre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Legendre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

二、Chebyshev多项式

定义

是区间 [ -1, 1 ] 上权函数 的正交多项式，且满足:

• 
• 有三项递推关系：

• 在 [-1,1] 上的 n 个零点为：

代码实现

# 计算前 5 阶 Chebyshev 多项式
T = [chebyt(n) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Chebyshev 多项式：', T)

绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Chebyshev 多项式

# chebyt
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
chebyt_poly = chebyt(3)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, chebyt_poly, label='Chebyt Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Chebyshev Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
chebyt_poly = chebyt(10)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, chebyt_poly, label='Chebyt Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Chebyshev Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
chebyt_poly = chebyt(50)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, chebyt_poly, label='Chebyt Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Chebyshev Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

三、Laguerre多项式

定义

是区间 上权函数 的正交多项式，且满足：

• 
• 有三项递推关系：

  

代码实现

# 计算前 5 阶 (α=0) Laguerre 多项式
L = [genlaguerre(n, 0) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Laguerre 多项式 (α=0) ：', L)

绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Laguerre 多项式

# Laguerre
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
Laguerre_poly = genlaguerre(3, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, Laguerre_poly, label='Laguerre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Laguerre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
Laguerre_poly = genlaguerre(10, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, Laguerre_poly, label='Laguerre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Laguerre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
Laguerre_poly = genlaguerre(50, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, Laguerre_poly, label='Laguerre Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Laguerre Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

四、Hermite多项式

定义

是区间 上权函数 的正交多项式，且满足：

• 
• 有三项递推关系：

  

代码实现

# 计算 Hermite 多项式前 5 阶
H = [hermite(n) for n in range(5)]
print(H)

绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Hermite 多项式

# Hermite
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
hermite_poly = hermite(3, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, hermite_poly, label='Hermite Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Hermite Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
hermite_poly = hermite(10)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, hermite_poly, label='Hermite Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Hermite Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
hermite_poly = hermite(50, 0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, hermite_poly, label='Hermite Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Hermite Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

五、Jacobi多项式

定义

Jacobi 正交多项式 可以通过正交化代数多项式基底得到，这里的正交化是在内积空间中进行的。我们称为 n 次 Jacobi 多项式。

• 
• 
• 
• 

代码实现

# 计算前 5 阶 (α=0.5, β=1.0) Jacobi 多项式
P = [jacobi(n, 0.5, 1.0) for n in range(5)]
print('前 5 阶 Jacobi 多项式 (α=0.5, β=1.0) ：', P)

绘制图像以分别观察 3、10、50 阶的 Jacobi 多项式

# Jacobi
# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 4)
jacobi_poly = jacobi(3, 0.5, 1.0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, jacobi_poly, label='Jacobi Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('3rd Order Jacobi Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 11)
jacobi_poly = jacobi(10, 0.5, 1.0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, jacobi_poly, label='Jacobi Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('10th Order Jacobi Polynomial')
plt.legend()
plt.show()

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 51)
jacobi_poly = jacobi(50, 0.5, 1.0)
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, jacobi_poly, label='Jacobi Polynomial')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('50th Order Jacobi Polynomial')
plt.legend()
plt.show()