迭代法的误差分析

误差分析可以帮助我们理解迭代法的收敛速度和准确性。常见的误差指标包括：

• 绝对误差：当前解与真解之间的差距：

  $$e^{(k)} = x^{(k)} - x^*$$

  其中 $x^*$ 是线性方程组的真解。

• 相对误差：绝对误差与真解的比值：

  $$r^{(k)} = \frac{|e^{(k)}|}{|x^*|}$$
• 残差：当前解代入方程后的误差：

  $$r^{(k)} = b - Ax^{(k)}$$

在实际应用中，迭代法的误差分析通常结合数值实验，通过观测误差的收敛趋势来评估算法的性能。

示例代码

def compute_error(x, x_true):
    return np.linalg.norm(x - x_true)

def compute_relative_error(x, x_true):
    return np.linalg.norm(x - x_true) / np.linalg.norm(x_true)

def compute_residual(A, x, b):
    return np.linalg.norm(b - np.dot(A, x))

通过上述方法，我们可以实现并验证不同迭代法的效果，从而为实际问题的求解提供有效的数值工具。